Публикация научных работ

05.00.00 Технические науки

ТЕОРЕМА О СУЩЕСТВОВАНИИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Дудко В.Г., Шлопак А.А.

Дудко Владимир Григорьевич - кандидат технических наук, доцент,

Шлопак Александр Анфирович - кандидат технических наук, доцент,

кафедра К-1 «Системы автоматического управления»

Мытищинский филиал Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана (национальный исследовательский университет),

г. Мытищи

Аннотация: исследования по решению смешанной задачи для системы дифференциально-функциональных уравнений изложены в [1], [2]. В работах [3], [4], [5] для этих систем рассмотрены непрерывная зависимость решения от начальных условий и правых частей в смысле среднего квадратичного отклонения, доказаны теоремы о непрерывной зависимости частных производных по времени от решения. В данной статье исследуются вопросы существования и единственности обобщённого решения системы линейных дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка. Предполагается, что начальные условия квадратично суммируемы на отрезке, а правые части уравнений принадлежат пространству на прямоугольной области. Проведено доказательство теоремы существования и единственности обобщённого решения, основанное на методе аппроксимации начальных условий и правых частей последовательностями гладких функций, с последующим применением метода предельного перехода. Показано, что обобщённое решение сохраняет свойства квадратичной непрерывности и удовлетворяет начальным условиям с точностью до множества меры нуль. В работе также доказана единственность решения путём анализа сходимости разностей аппроксимирующих решений. Полученные результаты подтверждают устойчивость решения к малым изменениям начальных и граничных условий, что делает представленный подход универсальным для задач данного класса.

Ключевые слова: уравнения, функциональный, теорема.

A THEOREM ON THE EXISTENCE AND UNIQUENESS OF A GENERALIZED SOLUTION TO A MIXED PROBLEM OF LINEAR SYSTEMS OF DIFFERENTIAL FUNCTIONAL EQUATIONS

Dudko V.G., Shlopak A.A.

Dudko Vladimir Grigoryevich - PhD in Engineering Sciences, Associate Professor

Shlopak Alexander Anfirovich – PhD in Engineering Sciences, Associate Professor

DEPARTMENT K-1 «AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS»

MYTISHCHI BRANCH OF BAUMAN MOSCOW STATE TECHNICAL UNIVERSITY,

MYTISHCHI

Abstract: studies on solving a mixed problem for a system of differential functional equations are described in [1], [2]. In the works [3], [4], [5] for these systems, the continuous dependence of the solution on the initial conditions and the right-hand sides in the sense of the mean square deviation is considered, theorems on the continuous dependence of partial derivatives in time on the solution are proved. This article examines the existence and uniqueness of a generalized solution of a system of linear partial differential equations of the first order. It is assumed that the initial conditions are quadratically summable on the segment, and the right-hand sides of the equations belong to the space on the rectangular area. The proof of the theorem of the existence and uniqueness of the generalized solution is carried out, based on the method of approximation of the initial conditions and the right parts by sequences of smooth functions, followed by the application of the limit transition method. It is shown that the generalized solution preserves the properties of quadratic continuity and satisfies the initial conditions up to the set of measure zero. The paper also proves the uniqueness of the solution by analyzing the convergence of the differences of the approximating solutions. The results obtained confirm the stability of the solution to small changes in initial and boundary conditions, which makes the presented approach universal for problems of this class.

Keywords: equations, functional, theorem.

Список литературы / References

1. А.Д. Мышкис “Смешанные функционально-дифференциальные уравнения”, Новые проблемы теории функционально-дифференциальных уравнений, СМФН, 4, МАИ, М., 2003, 5–120; Journal of Mathematical Sciences, 129:5 (2005), 4111–4226.
2. А.Д. Мышкис “Начальная задача для смешанных функционально-дифференциальных уравнений”, Автомат. и телемех., 1999, № 3, 170–179; Remote Control, 60:3 (1999), 436–444.
3. Дудко В.Г., Сумительнов В.Н., Шлопак А.А.” Решение одной смешанной задачи для системы телеграфных уравнений методом разделения переменных, Проблемы современной науки и образования 2017. № 33 (115), 27-33.
4. Шлопак А.А. Решение смешанной задачи для линейных систем дифференциально-функциональных уравнений с постоянными коэффициентами при простейших граничных условиях, Проблемы современной науки и образования 2017. № 16 (98), 26-30.
5. Шлопак А.А. О решении смешанной задачи линейных систем дифференциально-функциональных уравнений. Проблемы современной науки и образования 2021. № 11 (168), 34-41.
6. Дудко В.Г., Шлопак А.А. О теореме существования смешанной задачи линейных систем дифференциально-функциональных уравнений. Проблемы современной науки и образования 2022. № 9 (178), 21-27.
7. Дудко В.Г., Шлопак А.А. О непрерывной зависимости решения смешанной задачи для систем дифференциально-функциональных уравнений от коэффициентов системы в смысле среднего квадратичного отклонения 2020. № 12 (157). Часть 2, 4-13.

Ссылка для цитирования данной статьи

		Тип лицензии на данную статью – CC BY 4.0. Это значит, что Вы можете свободно цитировать данную статью на любом носителе и в любом формате при указании авторства.
Дудко В.Г., Шлопак А.А. ТЕОРЕМА О СУЩЕСТВОВАНИИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ //  Проблемы современной науки и образования  №12 (199)2024. - С.{см. журнал}.

Поделитесь данной статьей, повысьте свой научный статус в социальных сетях